天赋之才该如何培养？中美两国数学资优教育之比较

撰文 | 熊斌（华东师范大学数学科学学院、上海市核心数学与实践重点实验室）、丁玖（美国南密西西比大学数学系）

一个人的成才离不开教育，其中正规的语文教育和数学教育从小学到大学几乎一直伴随我们前行，因而是人生的重要历程。掌握语言帮助我们有效地交流，学好数学则帮助我们有逻辑地思维，而那些最终成为数学家的一小部分人，和其他各行各业的杰出人士一样，将会给祖国甚至人类做出较大的贡献。

如果要想成为一个领域的杰出人士，首先必须要具有一些能在那个领域一展风采的天赋之才，其次需要外部教育帮助发现并且全力培养这些未来世界的设计师、建筑师。这里讨论的教育探索和行动则是对任何一个民族和国家都特别重要的“资优生教育”。

笔者均为数学工作者，一位在上海从事资优生教育和研究多年，另一位在美国的大学教书多年。在这篇文章中，我们试图对中美两国的数学资优生教育做一番介绍和比较，也展示我们基于多年实践、观察与思考而获得的一些感想。

数学的地位

“数学的发展”与“人类的进步”这两个短语可以说是几乎等价的，在几千年的世界文明史中，数学发展与人类进步相辅相成，并肩而行。近一百年前，英国的数学家和哲学家怀特海 (Alfred North Whitehead，1861-1947) 在他的名著《科学与近代世界》(Science and the Modern World) 中特辟一章，专讲“作为人类思想史要素之一的数学”。在这章的一开头，他说：“纯数学这门学科在近代的发展，可以说是人类灵性最富于创造性的产物。”在所有其他的人类文明活动中，他认为只有音乐与数学同享如此崇高的地位。

的确，几百年来的近现代科学史，有多少科学大家吟诵过数学的赞美诗！实验科学的鼻祖、英国历史上两位伟大的“培根”中更早的那位罗杰·培根 (Rogers Bacon，1214-1293)，直截了当地宣称：“所有科学都需要数学”。近代实验物理先驱、意大利人伽利略 (Galileo Galilei，1564-1642) 的名言“自然之书是用数学符号写的”，被本文作者之一放在了他的科普书《智者的困惑——混沌分形漫谈》（丁玖著，高等教育出版社，2013年）的扉页上。学过线性代数的大学生都知道“二次型惯性定理”，它的发现者、英国数学家西尔维斯特 (James Joseph Sylvester，1814-1897)，当过律师，爱写诗歌，两度跨越大西洋帮助美利坚发展现代数学，唱出一曲“数学是理性的音乐”。

现代物理学家们也很爱数学，尤其是那些理论物理学家。杨振宁和他在普林斯顿高等研究院的同事及终生朋友戴森 (Freeman Dyson，1923-2020)，甚至都成为杰出的“数学物理学家”。杨振宁少年时代在父亲的书房里就被群论的对称之美所吸引，戴森在成为理论物理学家前就已写出十篇数学文章。而在麻省理工学院物理系读本科的费曼 (Richard Feynman，1918-1988)，1939年竟成了第二届普特南全美大学生数学竞赛的折桂者。爱因斯坦 (Albert Einstein，1879-1955) 的广义相对论得益于他的前辈数学家黎曼 (Bernhard Riemann，1826-1866) 的“弯曲几何”的革命性思想，因而感慨万分：“纯数学是逻辑思想的诗歌。”而量子力学的创始人之一、英国天才狄拉克 (Paul Adrien Dirac，1902-1984) 则干脆把一切都归功于上帝：“上帝用美丽的数学创造了世界”。

我们不需要再回放为数学歌功颂德的赞歌了。打开美国数学史家贝尔 (Temple Bell，1883-1960)的名著《数学大师：从芝诺到庞加莱》(Men of Mathematics)，正文前的一系列“数学家语录”扑面而来，马上就会让你迫不及待地想读下去。是啊，数学的确是光芒四射，她既是科学的王后，又是骄傲的公主。数学如此富有魅力，谁不想爱戴她？数学又如此地位崇高，谁不想拥有她？但是无论在大学和中学的课堂里，还是在公司和车间里的黑板上，数学又如同冷艳的美女，常常拒人于千里之外；无论在教科书的页码中，还是在学术论文的字缝里，学习数学又像雾里观花，看不清楚也摸不着。放眼中国大地，应试教育的后果之一就是埋没了不知多少的数学天才；聆听上课铃声，十二年的初等教育还有巨大的改进空间。

一些年前，美国的《华尔街邮报》通过民意测验发现“广义的数学家”，即那些本身不一定是职业数学家，但工作中用到许多现代数学的专业人士，在美国的职场中炙手可热。今天的中国，数学的学术和社会地位全面提升，原因之一是风口浪尖中的华为公司其创始人任正非自豪地告诉大家，华为雇有700多位数学家！更进一步，国家科技部、教育部、中科院及自然科学基金委最近联合制定了《关于加强数学科学研究工作方案》，提出在国家重点研发计划中设立“数学与交叉科学”重点专项，支持高校和科研院所建设基础数学中心，支持地方政府依托高校、科研院所和企业建设应用数学中心。不久，李克强总理也在国家自然科学杰出青年基金的一次会议上，再次就数学郑重建议，提出希望。如果全民评比2019-2020年度十大热词，“数学”一词很可能会跻身其中。

数学家的成长应该像足球运动员那样，按照邓小平的说法要“从娃娃开始抓起”。数学是科学之母，是基础学科，也是难学的学科，有的部分难得令许多人望而生畏。我们要善于挖掘具有数学天赋的人才并让他们脱颖而出。同时，我们也应该尊重教育的普遍规律，不要拔苗助长。比如说，小学的数学教育如同小学生的身体慢慢成长那样，须从容起步；到了初中，代数与几何的基础内容登堂入室；高中阶段基本掌握初等数学的各个有机部分，比如三角函数和解析几何。这个时候或更早，不同学生的个人兴趣以及天赋高低充分显露，孔子“因材施教”的思想理应指引我们。对那些天赋极高并有远大理想的高中生，应该尽早将部分的大学数学课程，如初等微积分和线性代数，传授于他们，甚至也应该尽快将现代数学的思想胚芽，像种子一样撒在高中的校园里生根发芽，开花吐枝，这样那些资优的学生进了大学后就会进一步茁壮成长，突飞猛进。

天赋之才的价值

“天才”是个诱人的词汇，也是常人难以企及的资质。美国物理学家费曼一生成就太过杰出，以至于为他写传记的美国著名科学记者格莱克 (James Gleick，1954-) ，干脆就言简意赅地把书名起为“天才”（Genius）一词。

“现代电子计算机之父”冯·诺伊曼 (John von Neumann，1903-1957) 和“氢弹之父”乌拉姆 (Stanislaw Ulam，1909-1984) ，都是闻名于世的杰出数学家，从小就天才显露。出生于匈牙利的冯·诺伊曼，六岁时就能表情奇怪地用心算算出八位数的乘法，而在波兰长大的乌拉姆，四岁时就对家中波斯地毯的几何图形着了迷。他们年轻时都受过最好的教育，与其他天才少年一道切磋学问，20岁左右就分别在现代数学的基础学科集合论领域做出惊人成果。和乌拉姆一样，美籍数学家卡茨 (Mark Kac，1914-1984) 也是由波兰学派培育成功的，他在自传中把天才分成两类：一类天才只比别人聪明一点就可，以进行他们所从事的学术研究，而另一类天才是真正的魔术师。他把费曼归类于“能力最强的魔术师”。天赋加上热爱，就会如虎添翼，大有作为。美国著名的生物学家、1933年诺贝尔生理及医学奖获得者摩尔根 (Thomas H. Morgen，1866-1945) ，从小就痴迷于自然界的奇花异草，与小生物、小动物结下了不解之缘，天生就是搞生物科学的料子，加上一生不懈的努力，最终成就了自己科学探索辉煌的一生。

然而在我们这个星球的人类文明中，“天才”毕竟极为稀少，我们的这篇文章对此不作研究，转身退而求其次——探讨“天赋之才”，它可以被视为“次天才” (sub-genius)，与想象中的“超天才” (super-genius) 相对。这些人的个数大概只占所比较群体人数的百分之五左右。这和笔者之一所持观点“仅有百分之五的学生可以经历奥数的训练”，具有基本一致的比例。描述这部分“最强大脑”的英文单词通常是“gifted”，其对应的中文单词是“资优”。无论在中国还是在外国，资优生的教育、崛起和成长，关系到国家未来的科学技术这第一生产力的壮大。

“人生而平等”是个颠扑不破的真理，也是人类社会遵从的基本原则。但是就“资质”而言，人又是“生而不平等”的。就像不同的人有不同的指纹，不同的人有不同的资质、不同的特长、不同的爱好、不同的追求，最终导致不同的职业和成就。笔者之一在他的书《亲历美国教育：三十年的体验与思考》中，对年轻人多彩多姿的人生取向，写出了如下的排比句：

有的人自幼就爱追根求源，天问苍穹地探微粒；有的人生来喜欢昆虫飞鸟，试管瓶前劲头十足；有的人天赋之才爱动脑筋，抽象思维如鱼得水；有的人不迷理论却爱实践，心灵手巧点石成金；有的人历史掌故如数家珍，上穷碧落下潜黄泉；有的人齐家治国如烹小鲜，能说会道号召有力。

一个人的天赋之才很快就以兴趣爱好的面貌出现，而这种充满激情的热爱一旦被及时正确地引导和滋养，加上自身的努力，他（她）的资优性能就如同喷泉那样汹涌而出，日后成大才的几率很大。而那些对某个学科“资质平平”的少男少女，刻苦求学固然可以取得可观的长进，但是很难取得极大的成就，就像鸡永远飞不上天、马总是比骆驼小这些简单的事实一样。胡适先生早就看到了人和人之间总有天生的差异、爱好的不同、天赋的高低，在1936年写给昔日的得意弟子吴健雄的一封信中，他这样看待“天才”：

“此次在海外见著你，知道你抱著很大的求学决心，我很高兴。昨夜我们乱谈的话，其中实有经验之谈，值得留意。凡治学问，功力之外，还需要天才。龟兔之喻，是勉励中人以下之语，也是警惕天才之语，有兔子的天才，加上乌龟的功力，定可无敌于一世，仅有功力，可无大过，而未必有大成功。”

在上个世纪的好多年，我们的社会舆论不太涉及“天才”这个敏感之词，我们各行各业的“人中凤凰”也十分谦虚，把自己的成功主要归结于“勤奋”。他们往往以虚怀若谷的面貌出现，不敢承认爹妈赐予的天赋之才，反而贬低自己是“天生愚钝”。比如，京剧大师梅兰芳就这么讲过：“我是个拙笨的学艺者，没有充分的天才，全凭苦学。”数学大师华罗庚，则用诗句“勤能补拙是良训，一分辛苦一分才”表达自己的心路历程。“笨鸟先飞”是那个时代的一个励志成语，而“与生俱来”的天才基因则被打入冷宫。固然，梅兰芳用了放养鸽子的“笨方法”激活了被师傅贬称的“死鱼眼睛”，而华罗庚则用“把厚书读薄，把薄书读厚”的苦读方法来全面掌握一门学科，但是不可否认，没有他们各自天生拥有的艺术天赋或非凡大脑，再勤奋再吃苦也到达不到他们后来达到，而别人难以企及的那种巅峰。

善于发现天赋之才，是培养人才的必要条件，需要教育者和家长犀利的双眼、细心的观察、科学的分析以及耐心的态度。一个很好的例子来自傅雷的故事。早年在法国研读过艺术理论的傅雷曾计划让大儿子傅聪学画，这样他也可以请他的画家朋友如黄宾虹、林风眠以及刘海粟等人给自己的孩子指点迷津。可是经过细心的观察，他发现傅聪很小就特别喜欢聆听留声机中的古典音乐，儿子的灵性未落到泼墨之手，而是潜伏于音乐之耳。这令父亲大感惊奇，以至于有次在高朋满座之时，他让五岁大的傅聪识别钢琴上随机弹奏的音，没想到儿子居然不靠比较就能鉴别是哪个音，并且屡试不爽。这样，父亲终于知道儿子具有超常的音乐天赋，并开始有的放矢地培养他。结果傅聪成了蜚声世界乐坛的钢琴家。对于自己的次子傅敏，傅雷开始也让他走音乐之路，学拉小提琴。但他很快发现，在音乐的天赋上，次子不及长子，未来顶多练成一个演奏员，而难以成为小提琴演奏大家。另一方面，他又发现傅敏有极强的语言能力，“是块教书的料！”于是傅雷就让他在英文上发展，最终成为极成功的英文特级教师。脍炙人口的《傅雷家书》富含会发现天赋、会栽培好苗的好父亲傅雷关于资优教育的思想和实践。

中国的资优生教育

关于资优教育，我国社会各界有多种不同的称呼，如超常教育、天才教育、英才教育、精英教育，等等。尽管这些称呼各不相同，但是究其本质都指的是针对一小部分在某些方面特别突出的资优学生的教育。这里所谓的“特别突出”即是说具有一定的“天赋之才”。有鉴于此，同时根据国际资优教育 (Gifted Education) 学术界的规范，我们在下文中一律使用“资优生教育”或“资优教育”这样的说法。

资优教育的思想很早就在我国出现了。例如，早在两千多年前的春秋战国时代，我国伟大的思想家孔子就提出了“因材施教”的教育学说，倡导针对特殊的人才施以特殊的教育。从古至今我国一般都把资优生称为“神童”，专指具有特殊才能的儿童。我国历朝历代的文献中记载了许多神童的事迹，其中较为知名的有甘罗十二为使臣的故事、曹冲五六岁称象的故事、骆宾王七岁咏鹅的故事，等等。北宋著名政治家王安石在其名篇《伤仲永》中，较为系统地论述了神童——方仲永的悲剧故事，他还深入分析了方仲永年少成名，但成年后“泯然众人矣”的原因，指出其中的根源在于缺乏适当的后天教育。总的来说，尽管我国古代对资优教育进行了一些探索，但这些探索主要是关于神童事迹的一些记录，而关于神童天赋之才的鉴别和培养等方面的工作还相当罕见，这表明我国古代资优教育研究的深度还较为浅。

1949年，随着新中国的成立，我国的基础教育事业迎来了新的时代。虽然此后基础教育的发展受到了许多不利因素的影响，但我国的基础教育仍然取得了长足的进步。其中，资优教育突出表现为两个方面的特点：一个是开设大学少年班，招收少年大学生；另一个是注重数学竞赛等学科竞赛教育，培养学科相关人才。

开设大学少年班是神童教育的进一步发展和完善。1978年，在著名物理学家李政道先生的倡导下，中国科学技术大学率先招收了88名少年大学生，其中最小的只有11岁，最大的也才16岁。这个事情经全国各大报刊报道后，引起了巨大的轰动，少年班大学生的事迹一时为人们津津乐道，少年班的大学生更是被人们誉为“神童”，一度成为全国青少年的偶像。这一事件可以称为我国现代资优教育的一个开端。不久，在中国科学技术大学少年班的影响下，北京大学、清华大学、复旦大学等十多所国内知名高校相继开设少年班，招收少年大学生，进行资优生教育。

不过，由于大学少年班在我国高校也是一项全新的事物，究竟应该如何对这些资优的学生进行教育，并不是一件容易的事情。虽然高校进行了积极的探索，如给予这些学生多一些的适应期，给予更多的关怀和帮助等等，但是由于种种原因，少年班教育的结果却并不完全令人满意。尽管有一些当初的“少年大学生”后来的学术成就举世瞩目，比如成了哈佛大学的教授和美国科学院的院士，但总体而言，不少“神童”后来取得的成就并没有达到人们的期望，甚至不少人都令人大失所望。由此，我国社会各界对大学少年班也是褒贬不一，甚至有人认为少年班根本就是失败的。

事实上，尽管后来一些高校出于各种考虑相继取消了少年班，不再招收少年大学生，但是少年班的开设仍然为我国资优教育的发展带来了许多新的经验和启示。例如，最初少年班办学的目的直接指向培养顶尖的科学研究人才，无论是社会舆论还是学校老师，都给这些资优生带来了巨大的心理压力，这或许已经从根本上违背了资优生的成长规律。现在的大学少年班教育已经认识到了这个弊端，学校采取了更为务实的低调态度，少年班的目标早已不是培养顶尖的科技人才，而是努力为这些神童创造更为合适的成长环境，实现因材施教，更好地促进资优生的成才。

其实，从中国科学技术大学四十多年的少年班教育结果来看，虽然有不少学生后来的发展不尽如人意，但是整体来说，少年班大学生的成材率还是相当高的。一项有关的跟踪研究统计发现，超过80%的少年大学生都考取了国内外的研究生，不少人已经成为国内外知名的科研人员。截止到目前，中国科学技术大学、西安交通大学和东南大学仍然在坚持大学少年班教育，继续探索资优生的教育以及资优生的成长和成才规律。

我国资优教育的另一个特色是重视数学竞赛等学科竞赛教育。新中国成立后，我国各行各业的发展都深受苏联的影响，教育也不例外。苏联早在1934年就开始在列宁格勒大学举办中学生数学竞赛，当时称之为“中学数学奥林匹克”，试图通过竞赛的方式，选拔和培养数学与科学研究人才。在苏联的影响下，以及我国著名数学家如华罗庚、苏步青、柯召等人的积极倡导下，我国也开始尝试举办中学数学竞赛。1956年，北京、上海、天津、武汉四个大城市首次举办中学数学竞赛，这或许可以称之为我国现代资优生教育的另一个开端。之后，中学数学竞赛相继扩大到南京、广州、西安等其他大城市，并断断续续地发展到1964年。1965年后，由于一系列政治因素的影响，我国的中学数学竞赛中断了13年，一直到1978年改革开放后才开始恢复。从1981年开始，我国的中学数学竞赛开始以各省市联合竞赛的方式稳定下来，并逐步发展成为国内最有影响力的一项中学生学科竞赛活动。

目前,世界上最具影响力的中学生数学竞赛是国际数学奥林匹克 (International Mathematical Olympiad，简称IMO)。我国自从1986年正式参加IMO以来，国家队的参赛选手获得了大量的金牌银牌等荣誉，在参赛国家总分的排名中也是屡次获得团体第一名，我国IMO国家队早已成为一支举世公认的数学奥林匹克强队。现在国内最高级别的中学生数学竞赛是始于1986年的中国数学奥林匹克 (Chinese Mathematical Olympiad，简称CMO)，我国的IMO国家队队员也都是通过CMO选拔出来的。通过CMO和IMO的数学竞赛活动，我国选拔出了一大批潜在的数学与科学研究人才。目前，许多CMO和IMO的优胜选手已经走到了国内外科学研究的第一线，并取得了相当突出的科研成果，不少选手甚至还荣获世界大奖。如张伟、恽之玮、许晨阳、刘一峰等获得著名的拉马努金奖 (Ramanujan Prize)，并且已经有不少学者，如朱歆文、王菘、刘若川、何宏宇、何斯迈、袁新意、肖梁等，在国内外知名高校或科研机构从事数学研究工作，并且做出了很好的工作。2008年、2009年IMO的满分金牌获得者韦东奕，在研究生一二年级时就已经做出了出色的成果。

从1894年匈牙利首创现代意义下的中学数学竞赛算起，中学数学竞赛已经有一百多年的历史了，并且我国举办中学数学竞赛也已有几十年的历史。然而，我国社会各界甚至教育界对数学竞赛及其教育价值仍然存有不少的认识误区。例如，许多家长甚至教师都认为，参加数学竞赛学习目的就是为了获奖；有些人看到个别数学竞赛优胜者没有达到公众的期望，就对数学竞赛大加批判，甚至干脆彻底否定数学竞赛的教育价值；不少人认为数学竞赛优胜选手就应该成为数学家，否则就是天才坠落；等等。事实上，数学竞赛对资优生的教育价值，关键是要把握好一个度的问题：适度的数学竞赛教育有助于发展资优生的数学思维，而过度的解题训练则有可能阻碍资优生高层次数学能力的发展。因此，我们既不能否定也不能夸大数学竞赛对资优生的教育价值，只有合适且适度的数学竞赛教育才能更好地促进资优生的成长。这里的“合适且适度”意思是说，我们需要针对合适的学生进行适度的数学竞赛教育。

新中国成立至今，我国积累了许多资优生教育的经验。这些经验表明，无论是大学少年班，还是数学竞赛等学科竞赛，都需要参与者具备相当的天赋之才，然而长期以来，“笨鸟先飞”、“刻苦磨练”是报刊杂志报道“成功人士”怎样成功的主旋律。事实上，杰出的人才和成就往往是天赋和勤奋化合的结晶，并且天赋往往还更重要。

笔者之一有个大学同学，小学六年级时获得全县的算术比赛第一名。1963年考入初中后，他的数学一直在学校遥遥领先。当学到平面几何时，许多同学掌握不了推理的诀窍，不会证明几何命题，他却是不费吹灰之力，证明题手到擒来。到了后来，他的数学老师解不了的问题也来问他，他都能一一解出。于是同学们都喊他“小华罗庚”。风头正盛的他被校长请到了全校大会上，让他讲讲自己是如何学好数学的。可是无论怎么绞尽脑汁，他也想不出自己是怎样学好数学的。最后他只好胡乱编出一通“悬梁刺股”式的励志故事，蒙混过关。几十年后，当他回想起这段经历时，用了“胡说八道”这个成语，对他传授“愚公移山”式学习秘诀的那次演讲定了性。然后他重新给出原因：“其实兴趣和天资是最重要的”。这位现在美国定居的博士，已经用他的故事生动阐述了“资优生教育”的逻辑要素：勤奋固然重要，但一个人脱颖而出更重要的条件是“天资”。引用他的另一个大学同学于1982年1月写下的毕业临别赠言：“天才加勤奋，久磨出人才”。据此，我们可以这样进行合理的推理：首先是天赋引向兴趣，然后是高强的天资加上勤奋的用功，并辅之以“资优生教育”所带来的“事半功倍”功效，最后一棵好苗子才有可能尽快长成参天大树。

新世纪以来，随着中西方数学教育交流的加深，在借鉴西方资优生教育经验的基础上，我国开始更加积极研究和大力倡导资优生教育。我国的资优生教育无论是方式还是方法都呈现出更为多样化的特点，除了大学少年班和数学竞赛等学科竞赛外，其他形式的资优生教育模式不断涌现。例如，笔者之一在华东师范大学数学科学学院任教，多年来一直按照“天赋+勤奋”的简单道理从事数学资优生的发现、引导和培养工作。目前，华东师范大学数学科学学院每年暑假开设的“非常数学”中学生夏令营，就是一个别具特色的数学资优生教育项目。在夏令营中，我们面向全国招收大约100名具有一定数学特长的中学生，免费提供住宿，然后由大学的数学和数学教育专家进行教育和培训。我们在学生入营的时候对他们的数学天赋和才能进行测评，之后结合学生的特点开设一些富有数学特色的教育讲座，如数学史、数学文化、数学建模、数学问题求解，等等。经过一周左右的学习培训，出营的时候再对学生做一个综合评价，全面考察学生的数学才能以及数学学习能力。这个数学资优教育项目每年都吸引大量的来自全国各地的优秀中学生报名参加，场面通常十分火爆。

美国的资优生教育

与几十年前中国天才的“虚怀若谷”相反，西方人一直直言不讳地宣传“天才论”，承认天赋之才，并不遗余力地寻找人才、培养人才，做得卓有成效。笔者之一在多年前访问北京的中国科学院数学与系统科学研究院时，读到一份考察报告，其中一句话让他印象深刻。这句话是：美国百分之五的各行各业的精英创造了科技成就，而剩下的民众则享受这些成就。这就是说，那些百分之五的资优生，长成参天大树后，为整个国家的兴旺发达，做出了不可替代的巨大贡献。

资优的英文单词是“gifted”，是由名词“gift”转化而来的形容词。英文单词 gift 的意思是“礼物”，因此“资优”是来自父母基因最大的礼物，完全是上天的赐予。但是上天的礼物是有选择性的，100对父母中大概也只有5对收到礼物，生下了幸运之子，因而西方教育界人士觉得这份礼物来之不易，份量很重，切勿浪费，所以要好好利用，以求它的最大化效应。他们懂得，只要因势利导，这些极端聪明的孩子日后成为栋梁之才的概率就能大幅度提升。为达到这一目的，“资优生教育”作为大众教育的一个极其重要的部分，在西方备受重视。

美国的教育思想遵循的是中国孔夫子的教导：“有教无类”和“因材施教”。对于前者，这个国家和中国做得一样好：任何人都有受教育的权利。但是它对后者的解释可能是对大多数学生“放任自由”，因为一般学生并非“智力超群”而“才华横溢”。在这一点，美国或许没有中国做得好，至少在数学教育这一方面。一般的美国高中毕业生对于初等数学的运算和理解远不及相应的中国毕业生。进了就业市场后，他们的代数操作和推理能力限制了他们的工作效率。然而，正如杨振宁先生所指出的那样，美国的教育对学生中的前百分之五十有益。美国中小学学校的做法是：充分注意每个学生的个性和特长，极其尊重每个学生的兴趣和爱好，创造条件让每一位天才茁壮成长。对于具有超级脑袋瓜并有鸿鹄之志的资优学生，学校开小灶，如果小灶也吃光了，就把他们送到附近的学院或大学，和本科生甚至研究生一起上课，待遇更高的是和教授一起做研究。

笔者之一的任教大学有个名叫Lawrence Mead的物理教授，书教得特别棒，擅长解释新概念，拿过两次校级杰出教学奖，研究也做得不错，早期的一篇开创性论文直到现在还不时被引用，也和笔者之一合写过几篇文章。他一生的几个亮点之一就是指导了许多高中生做研究，写成文章，发表在有声誉的物理期刊上，如《数学物理杂志》(Journal of Mathematical Physics)。这些出类拔萃的高中生考上了很好的大学，有的后来当上了名校的物理教授。Mead教授几年前退休后，完全是兴趣使然，继续在家做理论物理和数学物理的研究，发表论文，无功利心地探索未知，已成习惯，这自然也会影响曾随他研习物理的那些高中生们。

在同一所大学的数学系，一位华人教授的儿子倪襄龙是按照美国资优生教育的道路成长的。在他刚进小学时，父母就细心地观察到，儿子具有很强的接受能力和自学能力，尤其拥有数学和物理细胞，于是就带他在“因材施教”的康庄大道上整装上路了。他进了斯坦福大学常年提供的“资优青少年教育计划 (Education Program for Gifted Youth) ”，这是专给高天赋学生设计的一套远程教育网上课程，内容丰富，教学方式不按部就班。他八岁学了初等代数和平面几何，九岁完成三角函数和微积分预科 (Pre-calculus)，十岁时修了四门初等微积分课。那时他的正式身份是小学四年级学生，但是他却同时参加了全美的高中数学竞赛，并打入下一轮的美国数学邀请赛。从初二开始，他就没在他的学校修数学课，到了高中，他就干脆去了附近的大学修课，比如学习通常研究生才修读的《抽象代数》，考试成绩全班第一。更进一步，他跟随作为数学系教授的笔者之一做研究，探讨迭代对数函数的周期点问题，形成的研究论文发表在美国数学协会 (Mathematical Association of America) 旗下的《高校数学杂志》(The College Mathematics Journal) 上。他顺理成章地被麻省理工学院录取，进了数学系，2018年他大学毕业，去了加州大学伯克利校区数学系读博士学位，专攻代数拓扑，导师是位于伯克利的美国国家数学科学研究所所长 David Eisenbud 教授。

这位天赋异禀的学生是幸运的，因为美国到处都有各种“天才班”，不愿放过那前百分之五的青少年甚至儿童。比如，笔者之一的女儿读小学四年级时，就被选进学校一个冠名EXCEL的资优生班，班级英文名字的一个基本词义是“胜过”；这些孩子的确名不虚传，日后的发展大大胜过别人。班级的活动真是丰富多彩，有时解剖青蛙，有时请电视台的气象学家讲天气预报。某一天，她一回到家，就迫不及待地告诉爸爸，今天资优班的老师讲了“混沌与分形”，然后她就向他画图展示了从一个等边三角形开始，一步步画出的经典分形“科赫雪花”，俨然像一个讲授分形几何理论的大教授。这说明，美国的资优生教育不是热衷于给这些聪明的孩子大量地刷题或者拼命地灌输，而是不失时机地向他们展现现代科学和当代数学的一些新鲜思想和基本概念。

从小学到高中毕业，智商优良并有强烈爱好的学生，都可以申请参加许多大学提供的多学科资优生教育计划，尤其在暑假的那两个月。再拿斯坦福大学来说吧，它的“暑期高中生培训计划” (Stanford Pre-Collegiate Summer Institutes)，对象是从14岁到17岁的高中生，集中住校三周，由本校教授和研究生课堂授课。2019年8-11年级的覆盖学科是：生物科学、商业、计算机科学、工程、数学、物理与地球科学、社会科学、写作与应用艺术。其中的数学课程有数论、逻辑与解题、纽结理论、离散数学、对称的数学、密码学。从名称中可见这些课程的内容基本上都是大学里的相关材料。此外，斯坦福大学还组织不同学科的夏令营，与数学有关的就有“斯坦福大学数学夏令营” (Stanford University Mathematics Camp)。它的对象是10和11年级的学生，面向全世界招生，用五周的时间强化高等数学的学习。还有一个常年运行的数学活动，叫做“斯坦福数学圈” (Stanford Math Circle)。每周数学爱好者在斯坦福校园内聚集一起，在数学家和教育家的指导下探讨数学。“斯坦福高中生在线大学程度数学与物理” (Stanford Pre-Collegiate University-Level Math & Physics) 则全年提供高中一般不开设的13门数学和物理高等课程。对于培养资优学生，斯坦福大学的确是不遗余力的。

美国其他地区的许多大学也提供了大同小异的资优生教育计划，如位于美国东南地区的杜克大学与南密西西比大学合作，每年联合举办“学术资优青少年暑期活动” (Academically Gifted Child Summer Programs)，面向高中生，提供数学、心理学、演说与辩论、全球视野、天体物理、人类生物学等课程。南密西西比大学有本州最好最大的教育学院，资优生教育专家Frances A. Karnes于40年前创办了资优研究中心，现以她的名字命名 (Frances A. Karnes Center for Gifted Studies)。它是美国东南部的主要资优研究中心之一，Karnes教授著作等身，获奖无数，包括她的博士母校伊利诺伊大学颁发的杰出校友奖。

除了大学开办的多姿多彩的资优生教育计划，美国还有不少优秀的高中吸引资优青少年。一类是寄宿高中，主要集中在美国东北部的新英格兰地区，那是美国建国初十三个州的骨干部分，教育发达，集中了常春藤名校。这些私立高中接受外来申请者，择优录取，而学费则根据家庭收入酌情收取，甚至全免。笔者之一任教大学的一位台湾的商学院教授，就先后将两个儿子送到那里，毕业后步入麻省理工。另外一类共有四个州州政府创办的公立高中，包括北卡罗莱纳州和密西西比州，招收本州的最好学生，校名中的关键词是“数学”和“科学”。

笔者之一的一个亲戚曾经过面试考入密西西比数学与科学学校读高三和高四。该校位于密西西比女子大学的漂亮校园内，只招收本州的学生，总共仅有150名学生，高三和高四各半。教师大都有博士学位，薪水远高于普通高中，据说州议会每年的拨款按学生人数平均下来是一般高中的三倍。对这些天赋聪颖的“天子骄子”，学习的负荷也不轻，许多课程本质上属于大学。这里列出2008-2009高四学年，那个学年的课程表：秋季学期是《大学英语I》、《遗传学》、《大学统计I》、《有机化学》、《美国政府》、《高等力学》、《经济学》；春季学期则是《大学英语II》、《C++》、《统计II》、《微分方程》、《波与电》、《微积分III》、《现代物理》。由此可见，他们高中最后一年与中国大陆的高三截然不同：大陆的高三是全力复习迎接高考，而美国同等的学生则继续吸收新知识，迎接大学春秋的到来，而花在“高考”上的心血像测度为零的集合那样可以忽略不计。

美国的资优生教育还体现在高中就提供大学课程，总称Advanced Placement，简称AP。它以选修的形式将大学的基础课喂给那些志向远大的聪明学生，如初等微积分、大学英文、计算机语言、世界史、外语等。学生修完后参加统一的国家考试，成绩采用5分制。成绩合格的学生进了大学就可以免修那一门课，但是像哈佛这样高要求的名校，非5分者不让免修，一般公立大学可能4分也就放行了。

我们的一些看法

纵观中美两国关于资优生教育的理念和实践，我们当然容易理解这样的观点：大众教育的宗旨是提高整个国民的知识水准，增强劳动人民的基本素质，包括语言文字及交流能力和数学推理及运算能力；而精英教育的目的是从根本上提高国家的科学技术水平，让这些“智力王子”成为未来引领全国向世界强国进军的主力军，尽早实现“不忘初心”的中国梦。欣喜的是，我国政府已经强调数学对于强国的关键作用，而落实这项使命的必要条件是，一大批数学家如喷泉一般地涌现。

数学家的成长需要外因与内因的相互配合，外因是国家重视、学校培养及个人奋斗三者有机结合，内因则是幸运学生来自上天、通过父母基因而获得的天赋之才。我们要研究出一套适合中国国情、合乎科学的数学资优生教育理论，探索出有效培育优质数学苗子的新方法、新路子，千方百计不放过任何有创造性数学研究潜力的拔尖人才，并助其成长。

我们愿以日本著名的纯粹数学家冈洁 (Kiyoshi Oka，1901-1978) 说过的几句话来结束本文。他在《春夜十话——数学与情绪》内的文章《义务教育之管见》中说：

“国家在普及义务教育的同时还应大力发展天才教育。”

“既然大多数人无论接受何等教育，最终也只是人云亦云，那么我们只能从中选拔出少数精英，让他们发挥天赋。”

“西方文明从激烈竞争中诞生，国家只有充分激发天才的才能，才能从竞争中幸免于难。尽管教育只能让极少数的种子开花，但国家会精心挑选并栽培这些罕见的种子，确保人尽其才。”

“天才虽然凤毛麟角，但却发挥着举足轻重的作用。”

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